Η διαλεκτική σκέψη, από τη Φιλοσοφία ως τις Φυσικές Επιστήμες

Γράφει ο Κώστας Παπαχρήστου

Η Διαλεκτική αναζητά την ενότητα των πραγμάτων μέσα από τη σύνθεση καταρχήν αντίθετων εννοιών. Αυτό ισχύει από τη Φιλοσοφία και την Τέχνη ως τη Φυσική και τα Μαθηματικά. Δυστυχώς, δεν βρίσκει πεδίο εφαρμογής στην πολιτική...

    Διαλεκτική: Από τον Ηράκλειτο στον Hegel

Σύμφωνα με τον Ίωνα φιλόσοφο Ηράκλειτο (544 - 484 π.Χ.), πίσω από κάθε έκφανση του γίγνεσθαι στο Σύμπαν υπάρχει η εξ αντιθέτων σύσταση και εκ του πολέμου μεταξύ των αντιθέτων διάλυση των πάντων. Αυτό αποτελεί τη βάση της διαλεκτικής αρχής, η οποία διέπει την εξέλιξη κάθε πράγματος στον κόσμο.

Στον Πλάτωνα – φύσει πιο φωτεινό πνεύμα από τον «σκοτεινό» Ηράκλειτο – η (κατά βάση σωκρατική) Διαλεκτική αποκτά διαφορετικό νόημα: είναι η τέχνη τού διαλέγεσθαι, δηλαδή, ο τρόπος να φτάνουμε στην αλήθεια μέσω της σύγκρουσης αντίθετων απόψεων.

Ο Hegel (1770 - 1831) εξελίσσει τις ιδέες του Ηράκλειτου κατά δύο τρόπους: (α) τον απασχολούν οι ιδέες εξίσου με τα φαινόμενα, και (β) σπάζει το απόλυτο δίπολο θέσης – αντίθεσης προσθέτοντας ένα νέο στοιχείο, αυτό της σύνθεσης. Σύμφωνα με την διαλεκτική αρχή τού Hegel, η εξελικτική πορεία όλων των πραγμάτων και όλων των ιδεών βασίζεται στο τρίπτυχο «θέση – αντίθεση – σύνθεση» ή «κατάφαση – αντίφαση – συμφωνία». Με γενικότερους όρους, «Είναι – Μη είναι – Γίγνεσθαι». Η ουσία της πραγματικότητας συνίσταται μεν στην αντίθεση αλλά εμπεριέχει τη συμφωνία, τη συνδιαλλαγή. Έτσι, μέσα από τη σύνθεση των αντιθέσεων αναζητείται ένα ανώτερο επίπεδο αλήθειας.

Ας δούμε τις ιδέες του Hegel λίγο αναλυτικότερα:

Μία ιδέα δεν είναι ένα πράγμα απόλυτο και στατικό, αλλά αντιπροσωπεύει μια ομάδα σχέσεων. Μπορούμε να σκεφτούμε για κάτι μόνο σε συσχετισμό με κάτι άλλο, αντιλαμβανόμενοι τις ομοιότητες και τις διαφορές τους. Μία ιδέα χωρίς κάποιου είδους σχέσεις είναι κενή περιεχομένου.

Από όλες τις σχέσεις, η πλέον οικουμενική είναι εκείνη της αντίθεσης. Κάθε ιδέα, όπως και κάθε πραγματική κατάσταση, κατευθύνει αυτόματα προς το αντίθετό της και, στη συνέχεια, ενώνεται με αυτό για να σχηματίσουν μία ανώτερη και πιο σύνθετη δομή. Αυτή είναι η διαλεκτική αρχή στην οποία βασίζεται κάθε μορφή εξέλιξης ιδεών και πραγμάτων.

Έτσι, για παράδειγμα, ύλη και πνεύμα, καλό και κακό, κλπ., «διαλέγονται» μεταξύ τους και τελικά συντίθενται σε μία ανώτερη ύπαρξη: τον Άνθρωπο. Με όμοιο τρόπο, Λογική και Μεταφυσική, που εκπροσωπούν δύο καταρχήν αντίθετες φιλοσοφικές σχολές, οριοθετούνται και «συμφιλιώνονται» στην κριτική φιλοσοφία του Καντ.

Σύμφωνα με την παραπάνω θεώρηση, κύρια αποστολή της Φιλοσοφίας είναι η αναζήτηση της ενότητας που εν δυνάμει υπάρχει στη διαφορετικότητα. Αλλά κι η Επιστήμη έχει έναν σημαντικό ρόλο να παίξει...

    Η Διαλεκτική στα Μαθηματικά

Με βάση τη συζήτηση που προηγήθηκε, στο ανώτερο επίπεδο μίας διαλεκτικής σύνθεσης τα καταρχήν ασύμβατα μεταξύ τους καθίστανται συμπληρωματικά. Στα μαθηματικά, η σύνθεση αυτή εκφράζεται συμβολικά με τη γενική σχέση:

    Α * Β = Γ     (1)

όπου τα Α, Β, Γ είναι μαθηματικές έννοιες ή μαθηματικά αντικείμενα, και όπου η σύνθεση (*) των Α και Β μπορεί να είναι μία τυπική πράξη (π.χ., πρόσθεση) ή ένας λογικός σύνδεσμος (π.χ., διάζευξη). Το σύμβολο (=) μπορεί, αντίστοιχα, να δηλώνει μία τυπική ισότητα ή μια λογική ισοδυναμία. Εξ ορισμού, η σχέση Α=Β (ως ισότητα ή ως ισοδυναμία) είναι αδύνατη. Τα Α και Β ανήκουν σε «κόσμους» ασύμβατους μεταξύ τους, οι οποίοι μέσω της σύνθεσης (*) καθίστανται συμπληρωματικοί.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Αν τα Α και Β στη σχέση (1) συμβολίζουν τις έννοιες «άρτιος αριθμός» και «περιττός αριθμός», αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει «ακέραιος αριθμός» (πράγματι, ένας ακέραιος είναι είτε άρτιος είτε περιττός). Δηλαδή, η έννοια «ακέραιος» αποτελεί σύνθεση των αντίθετων, μεταξύ τους, εννοιών «άρτιος» και «περιττός». Με όμοιο τρόπο, αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες «ρητός αριθμός» και «άρρητος αριθμός», αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει και πάλι διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει «πραγματικός αριθμός».

2. Αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες «πραγματικός αριθμός» και «φανταστικός αριθμός», αντίστοιχα, και αν το (*) είναι τυπική πρόσθεση, τότε το Γ σημαίνει «μιγαδικός αριθμός». Αυτό εκφράζεται μαθηματικά με τη γνωστή σχέση x+iy=z, όπου τα x και y είναι πραγματικοί αριθμοί ενώ το z είναι μιγαδικός.

3. Μία αυθαίρετη συνάρτηση F(x), που δεν είναι είτε άρτια είτε περιττή, φέρει μέσα της και τις δύο αυτές αντίθετες ιδιότητες [οι οποίες αντιστοιχούν στις έννοιες Α και Β της σχέσης (1)], αφού μπορεί πάντα να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. Όμοια, κάθε τετραγωνικός πίνακας μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα.

4. Πάνω σε ένα επίπεδο, κάθε διάνυσμα V μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα δύο διανυσμάτων κάθετων μεταξύ τους (συνιστώσες τού V). Η καθετότητα μεταξύ των δύο συνιστωσών είναι μία μορφή ασυμβατότητας, με την έννοια ότι δεν υφίσταται μη-μηδενική προβολή της μίας συνιστώσας πάνω στην άλλη.

5. Κάθε διανυσματικό πεδίο V(x,y,z) στον χώρο μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ενός αστρόβιλου και ενός σωληνωτού πεδίου. Τόσο από φυσική, όσο και από γεωμετρική άποψη, οι δύο αυτοί τύποι πεδίου έχουν αντίθετες ιδιότητες. Για παράδειγμα, οι δυναμικές γραμμές ενός αστρόβιλου πεδίου είναι ανοιχτές (έχουν αρχή και τέλος), ενώ εκείνες ενός σωληνωτού είναι κλειστές. Από φυσική άποψη, ένα σωληνωτό πεδίο (όπως, π.χ., το μαγνητικό πεδίο) δεν μπορεί να έχει μεμονωμένες σημειακές πηγές, ενώ ένα αστρόβιλο πεδίο (π.χ., το ηλεκτροστατικό) μπορεί να έχει.

    Διαλεκτική και Φυσικές επιστήμες

Η μέσω της σύνθεσης ενοποίηση των αντιθέτων βρίσκει σημαντικές εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Όπως πρώτος παρατήρησε ο Αϊνστάιν, το φως συμπεριφέρεται άλλοτε ως σωματίδιο (φωτόνιο) και άλλοτε ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Έτσι, η έννοια «φως» συντίθεται από δύο ασύμβατες μεταξύ τους φυσικές έννοιες: «σωματίδιο» και «κύμα», όπου η πρώτη περιγράφει διακριτή ποσότητα ενέργειας εντοπισμένης στον χώρο, ενώ η δεύτερη αναφέρεται σε ενέργεια που κατανέμεται στον χώρο με τρόπο συνεχή. Επί πλέον, σύμφωνα με την κβαντομηχανική, και τα ίδια τα σωματίδια της ύλης (όπως, π.χ., το ηλεκτρόνιο) υπό κατάλληλες συνθήκες εμφανίζουν κυματικές ιδιότητες!

2. Η «θεωρία ενοποιημένου πεδίου» επιχειρεί να συνενώσει φαινομενικά διαφορετικά μεταξύ τους πεδία δυνάμεων ώστε να οριστούν γενικότερα και πιο σύνθετα πεδία. Ήδη τον 19ο αιώνα ο James Clerk Maxwell ανακάλυψε ότι το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αποτελούν απλά δύο όψεις ενός πιο σύνθετου πεδίου, του ηλεκτρομαγνητικού. Τον 20ό αιώνα δύο ακόμα πεδία, αυτά της ασθενούς και της ισχυρής δύναμης, εντάχθηκαν στο σχέδιο της ενοποίησης, ενώ συνεχίζονται οι προσπάθειες για να μπει στην «παρέα» και η δύστροπη βαρύτητα.

3. Στον κόσμο των στοιχειωδών σωματιδίων και υψηλών ενεργειών, θεωρίες όπως η υπερσυμμετρία επιχειρούν να αναδείξουν την κρυμμένη ενότητα ανάμεσα στα μποζόνια και τα φερμιόνια, τα οποία αποτελούν δύο κατηγορίες σωματίων που οι συλλογικές συμπεριφορές τους δείχνουν εκ διαμέτρου αντίθετες στον κόσμο των χαμηλών ενεργειών όπου ζούμε. Τα μποζόνια – όπως, π.χ., το φωτόνιο – είναι πολύ «κοινωνικά», ενώ τα φερμιόνια – όπως το ηλεκτρόνιο – έχουν την τάση να είναι «μονήρη».

4. Η περίφημη «γάτα του Schrödinger», ένα νοητικό πείραμα για την κβαντική υπέρθεση, φτάνει στο σημείο να συνθέσει διαλεκτικά τη ζωή με τον θάνατο. Με τεχνικούς όρους, η κβαντική κατάσταση της γάτας είναι γραμμικός συνδυασμός δύο επιμέρους καταστάσεων που αντιστοιχούν στις πιθανότητες η γάτα να είναι ζωντανή ή νεκρή. Η σύνθεσή τους, λοιπόν, επιτρέπει στη γάτα να είναι ταυτόχρονα ζωντανή και νεκρή! Βέβαια, αυτό ισχύει όσο δεν παρατηρούμε τη γάτα. Με το που θα κοιτάξουμε, η αλλόκοτη αυτή μαθηματική σύνθεση θα καταρρεύσει στη μία ή την άλλη συνιστώσα της, και η μοίρα της γάτας θα είναι πλέον απόλυτα προσδιορισμένη...

    Επιστήμη, Φιλοσοφία και Τέχνη

Σε πρόσφατη συζήτηση με τον καλό φίλο καθηγητή Φιλοσοφίας, Ηλία Τεμπέλη, με αντικείμενο μία φημισμένη διάλεξη του Δημήτρη Λιαντίνη, είχα επιχειρήσει να χαράξω σαφή όρια ανάμεσα στην επιστήμη και τη φιλοσοφία:

«Σκοπός της επιστήμης είναι η διερεύνηση των ορίων του αποδείξιμου. Αντίθετα, σκοπός της φιλοσοφίας είναι ο στοχασμός πέραν των ορίων του αποδείξιμου. Ως γνώστης του στοχασμού των φιλοσόφων, ο Λιαντίνης ήταν επιστήμων. Ως στοχαστής ο ίδιος πάνω σε ζητήματα μεταφυσικής, ήταν φιλόσοφος.»

Ο φίλος έκανε, τότε, μία ενδιαφέρουσα προσθήκη στο σκέλος που αφορά τη φιλοσοφία:

«...ο στοχασμός και πέραν των ορίων του αποδείξιμου!»

Η (φαινομενικά) μικρή λέξη «και» στον ορισμό καθιστά πιο δυσδιάκριτα τα όρια ανάμεσα στην επιστήμη και τη φιλοσοφία, έτσι που κάποιες γνωστικές περιοχές να διεκδικούνται ισότιμα και από τις δύο (ας θυμηθούμε, π.χ., το σχεδόν φιλοσοφικό ζήτημα της ερμηνείας της κβαντομηχανικής, που έφερε σε σύγκρουση τον Μπορ με τον Αϊνστάιν). Στο τέλος οφείλει να επέλθει συμβιβασμός προς όφελος του ανθρώπινου πνεύματος. Κι αυτό ακριβώς αντιπροσωπεύει τη θεμελιώδη ιδέα της Διαλεκτικής!

Βάζοντας, τώρα, στο κάδρο της συζήτησης και τη Μουσική, αυτό το «και» που συνδέει πράγματα καταρχήν αντίθετα με παραπέμπει, συνειρμικά, στο μαγικό “und” στη δεύτερη πράξη του «Τριστάνου» του Βάγκνερ (“Tristan und Isolde”). Πρόκειται εδώ για έναν σύνδεσμο που η χρήση του, πέραν της αυτονόητης αναφοράς στην ερωτική σχέση των δύο ηρώων, υπονοεί ταυτόχρονα και την διαλεκτική συνύπαρξη φανερά αντίθετων ιδεών στο μουσικό δράμα: του φωτός με το σκότος, της λογικής με το συναίσθημα, του «πρέπει» με το «θέλω», της κοινωνικής υπόληψης με την προσωπική ευτυχία, του έρωτα με τον θάνατο (ένα αχώριστο δίπολο κατά τον Δ. Λιαντίνη).

Και, μια και αναφερθήκαμε στη μουσική, να σημειώσω κάτι ιδιαίτερα σημαντικό: Η κορυφαία μουσική φόρμα, η «φόρμα σονάτας», με βάση την οποία δομούνται έργα όπως η σονάτα, το κουαρτέτο εγχόρδων και η συμφωνία, έχει στον πυρήνα της τη διαλεκτική σχέση ανάμεσα σε δύο αντίθετα, ως προς τον χαρακτήρα τους, μουσικά θέματα. Τα οποία, μέσω της ανάπτυξης, συντίθενται έτσι ώστε να παραχθεί ένα απόλυτα λογικό και ισορροπημένο μουσικό αποτέλεσμα.

    Αν υπήρχε η Διαλεκτική στην πολιτική...

Ένα πεδίο στο οποίο η Διαλεκτική δύσκολα βρίσκει εφαρμογή, είναι η πολιτική (σε αυτήν περιλαμβάνουμε και τις διεθνείς σχέσεις). Οι κομματικές παρατάξεις μίας χώρας (ονόματα δεν λέμε) συχνά διαγκωνίζονται για την εξουσία σπέρνοντας μίσος για τον αντίπαλο και καλλιεργώντας τον διχασμό στον λαό. Τους είναι αδύνατο να υπερβούν τις διαφορές τους και να ενώσουν δημιουργικά τις δυνάμεις τους για το καλό μίας πατρίδας την οποία το πολιτικό σύστημα είναι – υποτίθεται – ταγμένο να υπηρετεί.

Η μεγάλη εικόνα είναι ακόμα τραγικότερη. Τούτες τις μέρες παρακολουθούμε με οδύνη δύο λαούς που μοιράζονται μία μικρή γωνιά της Γης, να αλληλοεξοντώνονται με πράξεις ανείπωτης αγριότητας αντί να αναζητούν τρόπους ειρηνικής συνύπαρξης προς όφελος ολόκληρης της περιοχής. Ανάμεσα στις διαφορές τους, προεξάρχουσα θέση καταλαμβάνει ο θρησκευτικός δογματισμός. Το πώς αντιλαμβάνεται, δηλαδή, η κάθε πλευρά μεταφυσικά ζητήματα για τα οποία ο Άνθρωπος, λόγω της κοσμικής φύσης του, είναι αδύνατο να έχει την παραμικρή γνώση.

Φτάνουμε, έτσι, σε αυτό που θα ονομάζαμε «διαλεκτική ειρωνεία»: Ο Άνθρωπος, που αναζητά την ενότητα στη φιλοσοφία, την τέχνη και την επιστήμη, δεν μπορεί να τη βρει στη σχέση του με τον Άνθρωπο! Ο Ηράκλειτος χαμογελά σαρκαστικά από τα βάθη της Ιστορίας...

KLIK

Ο διαφορικός χαρακτήρας του φυσικού νόμου

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

Γιατί οι πλέον θεμελιώδεις νόμοι στην κλασική αλλά και τη σύγχρονη Φυσική εκφράζονται μαθηματικά με διαφορικές εξισώσεις; Η απάντηση βρίσκεται στο πώς το "είναι" οδηγεί στο "γίγνεσθαι", πώς το "εδώ" απλώνεται στο "παντού"...

    Τι μας διδάσκει ένα γήπεδο ποδοσφαίρου...

Ας φανταστούμε μία φωτογραφία τραβηγμένη από δεξιοτέχνη φωτογράφο σε έναν ποδοσφαιρικό αγώνα: Ένας παίκτης έχει μόλις σουτάρει ένα πέναλτι, και τη στιγμή της λήψης ο τερματοφύλακας εκτινάσσεται προς την κατεύθυνση της μπάλας. Βλέπουμε καθαρά τις εκφράσεις αγωνίας στα πρόσωπα των δύο ποδοσφαιριστών - για τους εντελώς αντίθετους λόγους, φυσικά. Πρόκειται για μία μεγαλειώδη αποτύπωση λεπτομερειών της στιγμής, οι οποίες σίγουρα θα ξέφευγαν από την προσοχή εκείνου που παρακολουθεί το παιχνίδι σε συνεχή ροή. Με μία σημαντική διαφορά: η φωτογραφία ποτέ δεν μας αποκαλύπτει τη συνέχεια της φάσης. Δεν μαθαίνουμε, δηλαδή, αν ο τερματοφύλακας απέκρουσε, τελικά, το πέναλτι, ή αν η μπάλα κατέληξε στα δίχτυα, στο δοκάρι ή στα... περιστέρια που πετούσαν πάνω από το γήπεδο!

Αφήνουμε, τώρα, τη φωτογραφική μηχανή και παίρνουμε μία βιντεοκάμερα. Για κάποιον απροσδιόριστο λόγο, την εστιάζουμε σταθερά στο κέντρο του γηπέδου. Έτσι, μπορούμε να καταγράψουμε όλες τις φάσεις στο συγκεκριμένο σημείο και μόνο, από την αρχή ως το τέλος του παιχνιδιού. Θα ήταν μία ωραία φάρσα σε έναν φίλο μας που δεν μπόρεσε να έρθει στο γήπεδο, αν του δίναμε το video για "να δει το παιχνίδι"!

Στην περίπτωση της φωτογραφίας, μπορούμε να δούμε τι συμβαίνει κάποια χρονική στιγμή σε μία περιοχή του χώρου, αλλά δεν ξέρουμε τι θα συμβεί τις επόμενες στιγμές στην περιοχή αυτή. Στην περίπτωση του σταθερά εστιασμένου video, γνωρίζουμε τη χρονική εξέλιξη των πραγμάτων σε ένα συγκεκριμένο σημείο αλλά δεν έχουμε ιδέα τι γίνεται σε άλλα σημεία. Όμως, δεν μας αρκεί το "τώρα", θέλουμε να γνωρίζουμε και το "μετά". Όπως και δεν μας φτάνει το "εδώ", χρειάζεται να ξέρουμε και το "εκεί".

Φεύγουμε από το ποδόσφαιρο και πάμε στον φυσικό κόσμο. Όλα τα φυσικά φαινόμενα που υποπίπτουν στην αντίληψή μας "απλώνονται" στον χώρο και τον χρόνο. Αν υποτεθεί ότι τα φαινόμενα αυτά ακολουθούν καθορισμένους νόμους και δεν υπόκεινται στην τυχαιότητα, οι νόμοι θα πρέπει να δίνουν απαντήσεις σε δύο βασικά ερωτήματα:

    * Αν γνωρίζω τι συμβαίνει τώρα, πώς μπορώ να προβλέψω τι θα συμβεί μετά;

    * Αν γνωρίζω την κατάσταση εδώ, πώς μπορώ να γνωρίσω την κατάσταση και οπουδήποτε αλλού;

Ένας μαθηματικός θα μας βεβαίωνε τώρα ότι, στη δική του γλώσσα, τα φυσικά φαινόμενα - τουλάχιστον τα πλέον θεμελιώδη - θα πρέπει να περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις!

    Το κλασικό σωματίδιο στη Νευτώνεια Μηχανική

Με τους δυναμικούς νόμους του ο Νεύτωνας καθόρισε την αιτιότητα που συνδέει το "τώρα" με το "μετά". Ας πάρουμε την απλούστερη περίπτωση ενός σημειακού σωματιδίου μάζας m, το οποίο υπόκειται σε ολική δύναμη F (με bold χαρακτήρες θα συμβολίζουμε διανυσματικά μεγέθη). Ο λεγόμενος δεύτερος νόμος του Νεύτωνα ορίζει τη δύναμη αυτή ως τον ρυθμό μεταβολής της ορμής p=mv του σωματιδίου, όπου v η ταχύτητα του σωματιδίου:

    F = dp / dt      (1)

H σχέση (1) μπορεί να γραφεί στην πιο οικεία μορφή

    F = m dv / dt = m a      (2)

όπου a=dv/dt η επιτάχυνση του σωματιδίου.

Τώρα, τους νόμους του Νεύτωνα έχει "δικαίωμα" να χρησιμοποιεί μόνο ένας αδρανειακός παρατηρητής, που χρησιμοποιεί ένα σύστημα αξόνων που ονομάζουμε αδρανειακό σύστημα αναφοράς (βλ., π.χ., [1], Παρ. 3.1). Με απλά λόγια, ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, ένα ελεύθερο σωμάτιο (το οποίο, δηλαδή, δεν υπόκειται σε αλληλεπιδράσεις με τον υπόλοιπο κόσμο) κινείται με σταθερή ταχύτητα (έχει μηδενική επιτάχυνση).

Έστω Ο η αρχή των αξόνων σε ένα τέτοιο σύστημα αναφοράς. Υποθέτουμε ότι το σύστημα είναι τρισορθογώνιο, με άξονες (x,y,z) στον τρισδιάστατο χώρο μας. Η τριάδα (x,y,z) συμβολίζει και τις καρτεσιανές συντεταγμένες ενός σημείου Σ του χώρου. Το διάνυσμα r=ΟΣ (με κατεύθυνση από Ο προς Σ), με συνιστώσες τις συντεταγμένες (x,y,z), καλείται διάνυσμα θέσης του σημείου Σ.

Για ένα σωματίδιο μάζας m που κινείται στον χώρο, το διάνυσμα θέσης του, r, μεταβάλλεται με τον χρόνο: r=r(t). Η ταχύτητα του σωματιδίου τη χρονική στιγμή t ορίζεται ως η χρονική παράγωγος v=dr/dt , ενώ η επιτάχυνση του σωματιδίου τη στιγμή αυτή είναι

    a = dv / dt = d ²r / dt ²      (3)

Υποθέτουμε τώρα ότι το σωματίδιο m βρίσκεται μέσα σε ένα πεδίο δυνάμεων F(r) (π.χ., ένα ηλεκτροστατικό πεδίο ή ένα πεδίο βαρύτητας). Από τις (2) και (3), τότε, έχουμε:

    F(r) = m d ²r / dt ²      (4)

Αυτή είναι η μαθηματική διατύπωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα στη μορφή διαφορικής εξίσωσης για το διάνυσμα θέσης r(t) του σωματιδίου m. Επειδή η εξίσωση είναι δευτέρας τάξεως [περιέχει μέχρι δεύτερη παράγωγο της άγνωστης συνάρτησης r(t)], για την επίλυσή της χρειάζεται να μας δοθούν και δύο αρχικές συνθήκες. Συγκεκριμένα, η αρχική θέση r(0) και η αρχική ταχύτητα v(0) του m τη χρονική στιγμή t=0. Έτσι, αν γνωρίζουμε πού ακριβώς βρίσκεται και με τι ταχύτητα κινείται το σωματίδιο τούτη τη στιγμή (t=0), η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (4) θα μας κάνει πρόβλεψη για τη θέση και την ταχύτητα του σωματιδίου για κάθε επόμενη χρονική στιγμή (t >0).

Δυστυχώς, κατά τον 20ό αιώνα η θεωρία του χάους ήρθε να διαψεύσει τις απόλυτες βεβαιότητες του Νεύτωνα. Σε κάποια μηχανικά συστήματα, ακόμα και αν γνωρίζουμε τι συμβαίνει τώρα, είναι αδύνατο να προβλέψουμε τι θα συμβεί αργότερα. Μία πεταλούδα που κουνάει τα φτερά της στην Κίνα είναι δυνατό μετά από μερικές μέρες να προκαλέσει ανεμοστρόβιλο στο Τέξας! Όπως και είναι δυνατό τίποτα τέτοιο να μη συμβεί...

    Η ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell

Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο είναι μία φυσική οντότητα που ορίζεται τόσο στον χρόνο, όσο και στον χώρο. Δηλαδή, εκτός από το "τώρα" και το "μετά", όπως στην περίπτωση του σημειακού σωματιδίου, μας ενδιαφέρει εξίσου το "εδώ" και το "εκεί". Αυτό σημαίνει ότι το ηλεκτρικό πεδίο E και το μαγνητικό πεδίο B είναι συναρτήσεις τεσσάρων μεταβλητών: των χωρικών συντεταγμένων (x,y,z) και του χρόνου t. Τα E και B θα ικανοποιούν τώρα ένα σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων, στο οποίο εμφανίζονται οι μερικές παράγωγοι των πεδίων ως προς τις μεταβλητές (x,y,z,t). Το σύστημα αυτό είναι οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell [2]:

όπου ρ και J οι πυκνότητες φορτίου και ρεύματος, αντίστοιχα, ενώ τα ε και μ είναι σταθερές. Οι εξισώσεις αυτές συνδέουν τις χωροχρονικές μεταβολές των πεδίων E και B μεταξύ τους, καθώς και με τις "πηγές" του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (τις κατανομές φορτίου και ρεύματος). Η ολοκλήρωση του συστήματος Maxwell για δοσμένες αρχικές και οριακές συνθήκες δίνει τα E και B σαν συναρτήσεις των (x,y,z,t).

    Κβαντομηχανική και σχετικότητα

Η θεμελιώδης διαφορική εξίσωση στην κβαντομηχανική είναι η εξίσωση του Schrödinger :

Το τετράγωνο του μέτρου της μιγαδικής συνάρτησης Ψ(r,t) σχετίζεται με την πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο μάζας m μέσα σε έναν στοιχειώδη όγκο γύρω από το σημείο r τη χρονική στιγμή t. Για την ολοκλήρωση της εξίσωσης πρέπει να μας δοθεί η τιμή της συνάρτησης Ψ σε κάθε σημείο r τη χρονική στιγμή t=0 (αρχική συνθήκη), καθώς και κατάλληλες οριακές συνθήκες που ισχύουν για κάθε χρονική στιγμή t.

Σύμφωνα με την γενική θεωρία της σχετικότητας, το πρόβλημα της βαρύτητας ανάγεται στην υπόθεση της καμπύλωσης του χωροχρόνου λόγω της παρουσίας της ύλης. Η γεωμετρία του χωροχρόνου καθορίζεται από τον μετρικό τανυστή g_μν (μ,ν=0,1,2,3), που είναι συνάρτηση των χωροχρονικών συντεταγμένων (t,x,y,z). Η σχέση ανάμεσα στη γεωμετρία του χωροχρόνου και την ύλη που την διαμορφώνει δίνεται από τις εξισώσεις του Einstein, που είναι σύστημα διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως για τις χωροχρονικές συναρτήσεις g_μν .

    Υπάρχουν, όμως, και μη-διαφορικοί φυσικοί νόμοι!

Οι θεμελιώδεις φυσικοί νόμοι, όπως αυτοί του Νεύτωνα ή εκείνοι που περιγράφονται με τις εξισώσεις του Maxwell, εκφράζονται μαθηματικά με διαφορικές εξισώσεις και αφορούν τη χρονική εξέλιξη της κατάστασης ενός καλά καθορισμένου συστήματος σωματιδίων, ή την χωροχρονική συμπεριφορά ενός πεδίου. Υπάρχουν όμως και μη-διαφορικοί (αλλά πολύ σημαντικοί!) νόμοι που εκφράζουν, π.χ., σχέσεις ανάμεσα σε φυσικά μεγέθη ή πεδία, ή περιγράφουν την στατιστική συμπεριφορά ενός τεράστιου (πρακτικά μη-μετρήσιμου) πλήθους σωματιδίων. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Ο νόμος της βαρύτητας, του Νεύτωνα: F=GmM / r ² , δίνει την έλξη που ασκεί μία μάζα M (π.χ., η Γη) σε μία μάζα m (π.χ., έναν δορυφόρο σε τροχιά γύρω από τη Γη) που βρίσκεται σε απόσταση r από την M.

Ο (γενικευμένος) νόμος του Ohm: J=σE , συνδέει την πυκνότητα ρεύματος J σε ένα σημείο ενός ηλεκτρικά αγώγιμου μέσου ειδικής αγωγιμότητας σ, με την ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο αυτό. Όμως, πέραν του ότι ο νόμος αυτός δεν έχει γενική εφαρμογή σε όλα τα υλικά μέσα, αποτελεί και προσεγγιστική εμπειρική σχέση που ισχύει με την προϋπόθεση ότι το πεδίο E δεν είναι πολύ ισχυρό. Ο νόμος του Ohm, δηλαδή, δεν αποτελεί ακριβή και γενικό νόμο της Φύσης.

Στην κατηγορία των στατιστικών νόμων ανήκουν οι νόμοι της θερμοδυναμικής. Ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος, που κατ' ουσίαν εκφράζει διατήρηση της ενέργειας, δεν είναι παρά γενίκευση της αρχής διατήρησης (ή μεταβολής, αν δρουν και μη-συντηρητικές δυνάμεις) της μηχανικής ενέργειας ενός Νευτώνειου συστήματος σωματιδίων [1].

Όσο για τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής [3], εκφράζει μία αυτονόητη αρχή: Αυτό που είναι πολύ-πολύ-πολύ απίθανο - αν και, θεωρητικά, όχι αδύνατο! - να συμβεί, δεν θα το δούμε ποτέ να συμβαίνει στην πράξη.

Το γενικό συμπέρασμα είναι ότι οι αληθινά θεμελιώδεις φυσικοί νόμοι - αυτοί, δηλαδή, που περιγράφουν τη Φύση στο πλέον στοιχειώδες επίπεδο των σωματιδίων και των πεδίων - εκφράζονται μαθηματικά σε διαφορική μορφή. Με άλλα λόγια, οι πληροφορίες που αντλούνται από τους νόμους αυτούς προκύπτουν από την επίλυση διαφορικών εξισώσεων!

[1] https://eclass.hna.gr/modules/document/file.php/TOM6103/Mechanics%20Volume%20PDF.pdf

[2] https://eclass.hna.gr/modules/document/file.php/TOM6104/EM%20Volume%20PDF.pdf

[3] https://eclass.hna.gr/modules/document/file.php/TOM6106/reversing%20time%20arrow.pdf

Διαλεκτική: Από τη Φιλοσοφία στην Φυσικομαθηματική Επιστήμη

Georg Wilhelm Friedrich Hegel

 Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

Πώς μέσω της Διαλεκτικής τα καταρχήν αντίθετα καθίστανται συμπληρωματικά. Από τη Φιλοσοφία στα Μαθηματικά, κι από τον Hegel και τον Maxwell στον Schrödinger, τον Βάγκνερ και τον Λιαντίνη...

    Διαλεκτική: Από τον Ηράκλειτο στον Hegel

Σύμφωνα με τον Ίωνα φιλόσοφο Ηράκλειτο (544 - 484 π.Χ.), πίσω από κάθε έκφανση του γίγνεσθαι στο Σύμπαν υπάρχει η εξ αντιθέτων σύσταση και εκ του πολέμου μεταξύ των αντιθέτων διάλυση των πάντων. Αυτό αποτελεί τη βάση της διαλεκτικής αρχής η οποία διέπει την εξέλιξη κάθε πράγματος στον κόσμο.

Στον Πλάτωνα - φύσει πιο φωτεινό πνεύμα από τον "σκοτεινό" Ηράκλειτο - η (κατά βάση σωκρατική) Διαλεκτική αποκτά διαφορετικό νόημα: είναι η τέχνη τού διαλέγεσθαι, δηλαδή, ο τρόπος να φτάνουμε στην αλήθεια μέσω της σύγκρουσης αντιθέτων απόψεων.

Ο Hegel (1770 - 1831) εξελίσσει τις ιδέες του Ηρακλείτου κατά δύο τρόπους: (α) τον απασχολούν οι ιδέες εξίσου με τα φαινόμενα, και (β) σπάζει το απόλυτο δίπολο θέσης - αντίθεσης προσθέτοντας ένα νέο στοιχείο, αυτό της σύνθεσης. Σύμφωνα με την διαλεκτική αρχή τού Hegel, η εξελικτική πορεία όλων των πραγμάτων και όλων των ιδεών βασίζεται στο τρίπτυχο "θέση - αντίθεση - σύνθεση" ή "κατάφαση - αντίφαση - συμφωνία". Με γενικότερους όρους, "Είναι - Μη είναι - Γίγνεσθαι". Η ουσία της πραγματικότητας συνίσταται μεν στην αντίθεση αλλά εμπεριέχει τη συμφωνία, την συνδιαλλαγή. Έτσι, μέσα από τη σύνθεση των αντιθέσεων αναζητείται ένα ανώτερο επίπεδο αλήθειας.

Ας δούμε τις ιδέες του Hegel λίγο αναλυτικότερα:

Μία ιδέα δεν είναι ένα πράγμα απόλυτο και στατικό αλλά αντιπροσωπεύει μια ομάδα σχέσεων. Μπορούμε να σκεφτούμε για κάτι μόνο σε συσχετισμό με κάτι άλλο, αντιλαμβανόμενοι τις ομοιότητες και τις διαφορές τους. Μία ιδέα χωρίς κάποιου είδους σχέσεις είναι κενή περιεχομένου.

Από όλες τις σχέσεις, η πλέον οικουμενική είναι εκείνη της αντίθεσης. Κάθε ιδέα, όπως και κάθε πραγματική κατάσταση, κατευθύνει αυτόματα προς το αντίθετό της και, στη συνέχεια, ενώνεται με αυτό για να σχηματίσουν μία ανώτερη και πιο σύνθετη δομή. Αυτή είναι η διαλεκτική αρχή στην οποία βασίζεται κάθε μορφή εξέλιξης ιδεών και πραγμάτων.

Έτσι, για παράδειγμα, ύλη και πνεύμα, καλό και κακό, κλπ., "διαλέγονται" μεταξύ τους και τελικά συντίθενται σε μία ανώτερη ύπαρξη: τον Άνθρωπο. Με όμοιο τρόπο, Λογική και Μεταφυσική, που εκπροσωπούν δύο καταρχήν αντίθετες φιλοσοφικές σχολές, οριοθετούνται και "συμφιλιώνονται" στην κριτική φιλοσοφία του Καντ.

Σύμφωνα με την παραπάνω θεώρηση, κύρια αποστολή της Φιλοσοφίας είναι η αναζήτηση της ενότητας που εν δυνάμει υπάρχει στη διαφορετικότητα. Αλλά κι η Επιστήμη έχει έναν σημαντικό ρόλο να παίξει...

    Η Διαλεκτική στα Μαθηματικά

Με βάση τη συζήτηση που προηγήθηκε, στο ανώτερο επίπεδο μίας διαλεκτικής σύνθεσης τα καταρχήν ασύμβατα μεταξύ τους καθίστανται συμπληρωματικά. Στα μαθηματικά, η σύνθεση αυτή εκφράζεται συμβολικά με τη γενική σχέση

Α * Β = Γ     (1)

όπου τα Α, Β, Γ είναι μαθηματικές έννοιες ή μαθηματικά αντικείμενα, και όπου η σύνθεση (*) των Α και Β μπορεί να είναι μία τυπική πράξη (π.χ., πρόσθεση) ή ένας λογικός σύνδεσμος (π.χ., διάζευξη). Το σύμβολο (=) μπορεί, αντίστοιχα, να δηλώνει μία τυπική ισότητα ή μια λογική ισοδυναμία. Εξ ορισμού, η σχέση Α=Β (ως ισότητα ή ως ισοδυναμία) είναι αδύνατη. Τα Α και Β ανήκουν σε "κόσμους" ασύμβατους μεταξύ τους, οι οποίοι μέσω της σύνθεσης (*) καθίστανται συμπληρωματικοί.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Αν τα Α και Β στη σχέση (1) συμβολίζουν τις έννοιες "άρτιος αριθμός" και "περιττός αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει "ακέραιος αριθμός" (πράγματι, ένας ακέραιος είναι είτε άρτιος είτε περιττός). Δηλαδή, η έννοια "ακέραιος" αποτελεί σύνθεση των αντίθετων μεταξύ τους εννοιών "άρτιος" και "περιττός". Με όμοιο τρόπο, αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες "ρητός αριθμός" και "άρρητος αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει και πάλι διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει "πραγματικός αριθμός".

2. Αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες "πραγματικός αριθμός" και "φανταστικός αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) είναι τυπική πρόσθεση, τότε το Γ σημαίνει "μιγαδικός αριθμός". Αυτό εκφράζεται μαθηματικά με τη γνωστή σχέση x+iy=z, όπου τα x και y είναι πραγματικοί αριθμοί ενώ το z είναι μιγαδικός.

3. Μία αυθαίρετη συνάρτηση f(x), που δεν είναι είτε άρτια είτε περιττή, φέρει μέσα της και τις δύο αυτές αντίθετες ιδιότητες [οι οποίες αντιστοιχούν στις έννοιες Α και Β της σχέσης (1)], αφού μπορεί πάντα να γραφεί ως άθροισμα μίας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης:

f(x) = (1/2)[f(x)+f(-x)] + (1/2)[f(x)-f(-x)] = άρτια + περιττή .

4. Όμοια, κάθε τετραγωνικός πίνακας M μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα:

M = (1/2)(M+M^T) + (1/2)(M-M^T) = συμμετρικός + αντισυμμετρικός .

5. Κάθε διάνυσμα V στον τρισδιάστατο χώρο μπορεί να εκφραστεί ως διανυσματικό άθροισμα ενός διανύσματος κατά μήκος δοσμένης γραμμής και ενός διανύσματος κάθετου στη γραμμή αυτή (υποθέτουμε ότι η γραμμή διέρχεται από την αρχή τού V). Πράγματι, το V και η δοσμένη γραμμή (ας την ονομάσουμε άξονα x) ορίζουν ένα επίπεδο xy, όπου ο άξονας y είναι κάθετος στον άξονα x. Τότε, το V αναλύεται σε δύο κάθετες μεταξύ τους διανυσματικές συνιστώσες κατά μήκος των αξόνων x και y, των οποίων συνιστωσών το V αποτελεί διανυσματικό άθροισμα:

V = V_x + V_y .

Η καθετότητα είναι μία μορφή ασυμβατότητας, αφού δεν υφίσταται μη-μηδενική προβολή διανύσματος σε διεύθυνση κάθετη προς αυτό. Υπό αυτή την έννοια, τα διανύσματα V_x και V_y  (κάθετα μεταξύ τους) είναι ασύμβατα το ένα ως προς το άλλο. (Δεν θα χρησιμοποιήσουμε εδώ την έκφραση "αντίθετα", η οποία στη διανυσματική ανάλυση δηλώνει αντίθετες κατευθύνσεις.)

6. Κάθε παραγωγίσιμο διανυσματικό πεδίο V(x,y,z) στον χώρο μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ενός αστρόβιλου και ενός σωληνωτού πεδίου. Τόσο από φυσική, όσο και από γεωμετρική άποψη, οι δύο αυτοί τύποι πεδίου έχουν αντίθετες ιδιότητες. Για παράδειγμα, οι δυναμικές γραμμές ενός αστρόβιλου πεδίου είναι ανοιχτές (έχουν αρχή και τέλος) ενώ εκείνες ενός σωληνωτού είναι κλειστές. Από φυσική άποψη, ένα σωληνωτό πεδίο δεν μπορεί να έχει μεμονωμένες σημειακές πηγές (πόλους) ενώ ένα αστρόβιλο πεδίο μπορεί να έχει. Γράφουμε:

V(x,y,z) = U(x,y,z) + W(x,y,z)   όπου   rot U = 0  και  div W = 0 .

    Διαλεκτική και Φυσικές επιστήμες

Η μέσω της σύνθεσης ενοποίηση των αντιθέτων βρίσκει σημαντικές εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Το φως συμπεριφέρεται άλλοτε ως σωματίδιο (φωτόνιο) και άλλοτε ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Έτσι, η έννοια "φως" συντίθεται από δύο ασύμβατες μεταξύ τους φυσικές έννοιες, "σωματίδιο" και "κύμα", όπου η πρώτη περιγράφει διακριτή ποσότητα ενέργειας εντοπισμένης στον χώρο, ενώ η δεύτερη αναφέρεται σε ενέργεια που κατανέμεται στον χώρο με τρόπο συνεχή. (Μία σειρά από άλλα φαινόμενα επίσης διαφοροποιούν τις δύο αυτές εκφάνσεις του φωτός.)

2. Η "θεωρία ενοποιημένου πεδίου" επιχειρεί να συνενώσει φαινομενικά διαφορετικά μεταξύ τους πεδία δυνάμεων ώστε να οριστούν γενικότερα και πιο σύνθετα πεδία. Ήδη τον 19ο αιώνα ο James Clerk Maxwell ανακάλυψε ότι το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αποτελούν απλά δύο όψεις ενός πιο σύνθετου πεδίου, του ηλεκτρομαγνητικού. Τον 20ό αιώνα δύο ακόμα πεδία, αυτά της ασθενούς και της ισχυρής δύναμης, εντάχθηκαν στο σχέδιο της ενοποίησης, ενώ συνεχίζονται οι προσπάθειες για να μπει στην "παρέα" και η βαρύτητα.

3. Στον κόσμο των στοιχειωδών σωματιδίων και υψηλών ενεργειών, θεωρίες όπως η υπερσυμμετρία επιχειρούν να αναδείξουν την κρυμμένη ενότητα ανάμεσα στα μποζόνια και τα φερμιόνια, τα οποία αποτελούν δύο κατηγορίες σωματίων που οι συλλογικές συμπεριφορές τους δείχνουν εκ διαμέτρου αντίθετες στον κόσμο των χαμηλών ενεργειών όπου ζούμε. (Τα μποζόνια - όπως, π.χ., το φωτόνιο - είναι πολύ "κοινωνικά", ενώ τα φερμιόνια - όπως το ηλεκτρόνιο - έχουν την τάση να είναι "μονήρη".)

4. Η περίφημη "γάτα του Schrödinger", ένα νοητικό πείραμα για την κβαντική υπέρθεση, φτάνει στο σημείο να συνθέσει διαλεκτικά τη ζωή με τον θάνατο. Με τεχνικούς όρους, η κβαντική κατάσταση της γάτας είναι γραμμικός συνδυασμός δύο επιμέρους καταστάσεων που αντιστοιχούν στις πιθανότητες η γάτα να είναι ζωντανή ή νεκρή. Η σύνθεσή τους, λοιπόν, επιτρέπει στη γάτα να είναι ταυτόχρονα ζωντανή και νεκρή! Βέβαια, αυτό ισχύει όσο δεν παρατηρούμε τη γάτα. Με το που θα κοιτάξουμε, η αλλόκοτη αυτή μαθηματική σύνθεση θα καταρρεύσει στη μία ή την άλλη συνιστώσα της, και η μοίρα της γάτας θα είναι πλέον απολύτως προσδιορισμένη...

    Επιστήμη, Φιλοσοφία και Τέχνη

Σε μία κριτική ανάλυση πάνω σε μια διάλεξη του Δημήτρη Λιαντίνη¹ είχαμε επιχειρήσει πριν χρόνια να χαράξουμε σαφή όρια ανάμεσα στην Επιστήμη και τη Φιλοσοφία. Γράψαμε:

Σκοπός της επιστήμης είναι η διερεύνηση των ορίων του αποδείξιμου. Αντίθετα, σκοπός της φιλοσοφίας είναι ο στοχασμός πέραν των ορίων του αποδείξιμου. (...) Ως γνώστης του στοχασμού των φιλοσόφων, ο Λιαντίνης ήταν επιστήμων. Ως στοχαστής ο ίδιος πάνω σε ζητήματα μεταφυσικής, ήταν φιλόσοφος.

Αναφέρθηκα πρόσφατα σε αυτή την ιδέα στο πλαίσιο μίας συζήτησης με καλό φίλο καθηγητή Φιλοσοφίας. Κι εκείνος έκανε μία ενδιαφέρουσα όσο και κρίσιμη προσθήκη στο σκέλος που αφορά τη φιλοσοφία:

    "...ο στοχασμός και πέραν των ορίων του αποδείξιμου!"

Η (φαινομενικά) μικρή λέξη "και" που πρόσθεσε ο φίλος στον ορισμό κάνει τη μεγάλη διαφορά: καθιστά πιο δυσδιάκριτα τα όρια ανάμεσα στην επιστήμη και τη φιλοσοφία, έτσι που κάποιες γνωστικές περιοχές να διεκδικούνται ισότιμα και από τις δύο. Στο τέλος οφείλει να επέλθει συμβιβασμός προς όφελος του ανθρώπινου πνεύματος. Κι αυτό ακριβώς αντιπροσωπεύει τη θεμελιώδη ιδέα της Διαλεκτικής!

Βάζοντας, τώρα, στο κάδρο της συζήτησης και τη Μουσική, αυτό το "και" που συνδέει πράγματα καταρχήν διαφορετικά με παραπέμπει συνειρμικά στο μαγικό "und" στη δεύτερη πράξη του "Τριστάνου" του Βάγκνερ ("Tristan und Isolde"). Έναν σύνδεσμο που, πέραν της αυτονόητης αναφοράς στην ερωτική σχέση των δύο ηρώων, υπονοεί ταυτόχρονα και τη διαλεκτική συνύπαρξη φανερά αντίθετων ιδεών στο μουσικό δράμα: του φωτός με το σκότος, της λογικής με το συναίσθημα, του "πρέπει" με το "θέλω", της κοινωνικής υπόληψης με την προσωπική ευτυχία, του έρωτα με τον θάνατο (ένα αχώριστο δίπολο κατά τον Δ. Λιαντίνη)...

Τίποτα δεν αναδεικνύει, τελικά, την ωραιότητα της Φιλοσοφίας όσο η Τέχνη. Και, για κάποιους αιθεροβάμονες ρομαντικούς, ακόμα κι η επιστήμη μία μορφή τέχνης (μπορεί να) είναι!

¹ https://www.aixmi.gr/index.php/poso-st-alitheia-haoromaste-se-mia-kideia/