Η σονάτα του Κρόιτσερ

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

Ο ιδιοκτήτης της βάρκας δεν πίστευε στα μάτια του. Τόσα λεφτά για ένα σχεδόν σάπιο σκαρί που καιρό τώρα έψαχνε τρόπο να ξεφορτωθεί! Ο αγοραστής δεν ήταν από εκείνους που λένε πολλές κουβέντες. Πλήρωσε χωρίς παζάρια και διαμαρτυρίες το ποσό που του είχε ζητηθεί, χαιρέτησε βιαστικά και μπήκε αμέσως στη βάρκα.

Καθώς ξανοιγόταν στο πέλαγος, «έπαιξε» για μία ακόμα φορά την ταινία της ζωής του τα τελευταία δύο χρόνια. Για μουσική υπόκρουση υπήρχε πάντα ο ήχος από τα κύματα. Και ό,τι έλειπε θα το συμπλήρωνε ο ίδιος – ήταν, εξ άλλου, μουσικός. Έπιασε το έργο από τους τίτλους της αρχής. Κι εκεί το όνομα του σκηνοθέτη δεν ήταν το δικό του. Ήταν αυτό της μοίρας. Με τη μορφή της γυναίκας...

Την είχε πρωτο-αντικρίσει στο Λυκαβηττό, σε μία από τις κοντινές, μικρές «αποδράσεις» του από το ιδιωτικό του στούντιο. Συνόδευε τους μαθητές κάποιου Λυκείου σε μια ημερήσια εκπαιδευτική εκδρομή. Ήταν καθηγήτρια φιλολογίας. Τον είχε ρωτήσει πώς θα βρουν το δρόμο για ένα πολιτιστικό κέντρο που βρισκόταν κάπου εκεί κοντά. Προσφέρθηκε να τους πάει ο ίδιος ως εκεί – δεν είχε, άλλωστε, πολλή δουλειά εκείνη τη μέρα.

Συζητώντας μαζί της στο δρόμο, έμαθε τα πρώτα πράγματα για κείνη. Αγαπούσε τη μουσική, αν και δεν είχε μουσικές γνώσεις. Και, όπως του εκμυστηρεύτηκε, είχε ένα διαχρονικό απωθημένο: να ακούσει τη «σονάτα του Κρόιτσερ», του Μπετόβεν. Της είχε μιλήσει κάποτε γι’ αυτήν ένας καθηγητής Φιλοσοφίας στο Πανεπιστήμιο, υπό την επίβλεψη του οποίου έκανε τότε μεταπτυχιακές σπουδές.

Είχε απορήσει κι ο ίδιος με το θάρρος του όταν της πρότεινε να περάσει κάποια μέρα από το στούντιό του εκεί στο Λυκαβηττό, να ακούσει επιτέλους τη φοβερή αυτή σονάτα που είχε στοιχειώσει τον Τολστόι! Κι εκείνη είχε δεχθεί αμέσως, με τον άδολο ενθουσιασμό ενός παιδιού.

Πήγε πολλές φορές στο στούντιο μέσα σ’ αυτά τα δύο χρόνια. Και κάθε συνάντησή τους ξεκινούσε με την ακρόαση της σονάτας του Κρόιτσερ, σαν απαραίτητος πρόλογος σε ένα σχεδόν μεταφυσικό τελετουργικό. Στο τέλος, πάνω στη χαλάρωση, μιλούσε για τον εαυτό της. Κι εκείνος ήταν πάντα πρόθυμος να ακούει...

Του είπε για τα οικογενειακά της προβλήματα και για μια ζωή αφυδατωμένη πια από συναισθήματα και συγκινήσεις. Ο γάμος της υπήρξε ένα είδος φυγής από φαντάσματα που την κυνηγούσαν από παλιά. Το πιο μεγάλο από αυτά, όμως, ήταν η μνήμη του καθηγητή. Ναι, θυμήθηκε την περίπτωση, ήταν πρώτο θέμα για καιρό στις εφημερίδες και την τηλεόραση. Καθηγητής της Φιλοσοφίας που είχε χαθεί με τρόπο μυστηριώδη στη θάλασσα. Είχε μόλις αγοράσει μια βάρκα και κάποιος τον είχε δει να ξανοίγεται στο πέλαγος. Η βάρκα δεν βρέθηκε ποτέ...

Κι έτσι πέρασαν δύο χρόνια γεμάτα μουσική, συγκινήσεις και εξομολογήσεις. Μα, όσο εκείνος δενόταν περισσότερο μαζί της, τόσο εκείνη απομακρυνόταν απ’ αυτόν. Οι επισκέψεις της γίνονταν όλο και πιο αραιές και βιαστικές, ενώ και η συγκίνηση απ’ τη μεριά της ολοένα λιγόστευε. Του μίλησε αόριστα για ένα «φορτωμένο πρόγραμμα» και για έναν νέο κύκλο μεταπτυχιακών σπουδών που είχε αποφασίσει να ξεκινήσει. Ώσπου, ξαφνικά, μια μέρα εκείνος βρήκε ένα γράμμα ριγμένο κάτω από την πόρτα του στούντιο.

Ήταν από εκείνη. Ο γραφικός χαρακτήρας δεν πρόδινε ταραχή, δεν φανέρωνε δισταγμό. Η γραφή ήταν σίγουρη, σαν από άτομο συνειδητοποιημένο, αποφασισμένο και ήρεμο. Σαν από άνθρωπο που δεν θα δίσταζε να πατήσει εν ψυχρώ τη σκανδάλη...

Αφού τον ευχαρίστησε (μάλλον τυπικά, ή έτσι του φάνηκε) για όσα «ωραία» είχαν μοιραστεί τα δύο αυτά χρόνια, του αποκάλυψε τους πραγματικούς λόγους που την είχαν φέρει σ’ εκείνον «κατά πρωτόγνωρη, για εκείνη, παράβαση των αρχών της». Ήταν το συναισθηματικό και υπαρξιακό κενό στο οποίο ζούσε εδώ και πολύ καιρό... Ήταν μια υποσυνείδητη ανάγκη εκδίκησης για κάποιον που χρόνια τώρα την καταπίεζε ενώ παράλληλα την υποτιμούσε σαν γυναίκα... Αλλά, πάνω απ’ όλα, ήταν το πάντα ανοιχτό τραύμα του ανεκπλήρωτου που άφησε πίσω της η σχεδόν μυθική μορφή ενός δασκάλου που εκείνη κάποτε πόθησε πολύ, μα δεν μπόρεσε (ίσως δεν πρόλαβε) να κατακτήσει. Τον κέρδισε, τελικά, η θάλασσα, στην οποία εκείνος αυτοθέλητα παρέδωσε ψυχή και σώμα...

Και η σονάτα του Κρόιτσερ, που άκουγαν μαζί σε κάθε τους συνάντηση στο στούντιο, ήταν μια υπερκόσμια γέφυρα που την πήγαινε σ’ εκείνον που της είχε πρωτομιλήσει κάποτε γι’ αυτό το μουσικό έργο. Μα, για να δώσει στον εαυτό της την ψευδαίσθηση της υλικής υπόστασης και της φυσικής παρουσίας του ανθρώπου που αντιπροσώπευε το ανεκπλήρωτο όνειρό της, είχε ανάγκη από ένα μέσο που θα σωματοποιούσε την ιδεατή μορφή του. Ένα εξ ορισμού και κατ’ ανάγκη υποδεέστερο υποκατάστατο, αφού κανείς δεν θα μπορούσε να συγκριθεί με έναν ημίθεο!

Έμεινε πολλές μέρες να κοιτάζει το γράμμα χωρίς να βρίσκει τη δύναμη να το ξαναδιαβάσει. Δεν είχε καν την αυταπάτη μιας υποτιθέμενης παρανόησης που συχνά συμβαίνει στην πρώτη ανάγνωση. Και δεν είχε την παραμικρή διάθεση να εργαστεί, λες και η έμπνευση τον είχε κι εκείνη εγκαταλείψει. Το καπάκι του πιάνου είχε μείνει ανοιχτό, όπως και η παρτιτούρα με τις σπουδές του Σοπέν πάνω στο αναλόγιο...

Όταν κατάφερε, τελικά, να συνέλθει κάπως, πήρε μία λευκή κόλλα χαρτί από το συρτάρι και κάθισε στο τραπέζι ξεβιδώνοντας την πένα του:

«Δεν πρόκειται να σε κατηγορήσω, είτε για τους λόγους που ήρθες, είτε για εκείνους που έφυγες. Αυτές τις μέρες διάβασα τα βιβλία του και κατάλαβα τι διδάχθηκες από εκείνον. Οφείλω να παραδεχθώ πως έχει δίκιο όταν μιλάει για την απόλυτα αδιαπραγμάτευτη ελευθερία και για τα ‘θέλω’ που παραμερίζουν τα ‘πρέπει’. Η βούληση ενός ανθρώπου δεν είναι ιδιοκτησία κανενός άλλου, και η αυτοδιαχείρισή της είναι αυτονόητο ατομικό δικαίωμα που δεν μπορεί να υπόκειται στον παραμικρό ηθικολογικό περιορισμό!

Κάποια στιγμή ένιωσες πως με χρειαζόσουν. Είτε για να ξεπεράσεις τα προσωπικά σου αδιέξοδα και να γεμίσεις το υπαρξιακό σου κενό, είτε για να ζήσεις την ψευδαίσθηση μιας ανεκπλήρωτης εμπειρίας που η ζωή δεν σε είχε αφήσει να γευτείς. Δεν γνωρίζω αν όλα αυτά δεν τα χρειάζεσαι πια, ή αν βρήκες τώρα κάποιον που σου τα εκπληρώνει περισσότερο. Αυτό δεν θα το μάθω ποτέ... Όμως, δεν έχω το δικαίωμα να σε κρίνω. Η ζωή είναι μία τεράστια αγορά προσφοράς και ζήτησης όπου όλα ανταλλάσσονται ελεύθερα με τους πιο συμφέροντες όρους και στην καλύτερη τιμή. Ακόμα και τα ανθρώπινα συναισθήματα. Αν υποτεθεί ότι το είδος υπάρχει ακόμα...

Σε κάποια παλιά ταινία, όπου ο ήρωας της ιστορίας δίνει άνιση μάχη να κερδίσει τη γυναίκα του με αντίπαλο το φάντασμα ενός – υποτίθεται πεθαμένου – παλιού εραστή, ο σύζυγος ομολογεί με απόγνωση ότι η μάχη αυτή είναι ήδη χαμένη. Γιατί, έναν πραγματικό άνθρωπο τον πολεμάς. Έχει αδυναμίες, έχει κακές πλευρές... Ένα όνειρο, όμως; Ένα φάντασμα πώς θα μπορέσεις να το πολεμήσεις; Είναι πιο ζωντανό απ’ την ίδια τη ζωή!

Εγώ αναμετρήθηκα με ένα όνειρο κι έχασα. Πώς αλλιώς θα μπορούσε να γίνει αφού δεν ήμουν παρά ένα ασήμαντο υποκατάστατό του; Όμως, ακόμα κι έτσι, ίσως και για να περισώσω ό,τι έχει απομείνει – αν έχει απομείνει κάτι – από τον αυτοσεβασμό μου, ας έχω τουλάχιστον τη γενναιότητα να τραβήξω την αναλογία ως το τέλος της. Ο δρόμος για τη δική μου μηδαμινή αθανασία είναι, λοιπόν, ήδη χαραγμένος. Δεν χρειάζεται καν να τον ψάξω στο χάρτη...

Ξέχασα να σου πω, σκέφτηκα να αγοράσω μια βάρκα. Ο τόπος εδώ στη στεριά δεν με χωράει πια, ακόμα και ο Λυκαβηττός πέφτει πάνω μου και με πλακώνει! Βρήκα μία μεταχειρισμένη σε μάλλον καλή τιμή. Βέβαια, η τιμή δεν έχει, τελικά, και τόση σημασία...»

Ακούμπησε το γράμμα δίπλα στο δικό της κι απομακρύνθηκε απ’ το τραπέζι. Άλλωστε, δεν ήξερε διεύθυνση για να το στείλει. Μα, ακόμα κι αν ήξερε δεν θα ξέπεφτε ποτέ σε μια τέτοια μικροπρέπεια που βαθύτερο στόχο θα είχε να την εκθέσει. Άφησε ξεκλείδωτο το στούντιο φεύγοντας, χωρίς να ρίξει μια ματιά πίσω του...

Καθώς ξανοιγόταν τώρα όλο και πιο βαθιά στο πέλαγος, οι μνήμες ξεθώριαζαν, γίνονταν ένα με τις ακτές που ξεμάκραιναν. Ώσπου βίωσε, τελικά, την τρομαχτική εκείνη ηδονή της υπαρξιακής μοναδικότητας στη μέση του απέραντου...

Κανείς δεν ξανάκουσε γι’ αυτόν, κι ούτε η βάρκα του βρέθηκε ποτέ. Μόνο ο άνεμος είναι φορές που φυσά περίεργα σ’ εκείνα τα απόμακρα θαλασσινά τοπία, σχηματίζοντας ήχους απόκοσμους. Δεν παίρνω όρκο, μα κάποια στιγμή, περνώντας με το καράβι, ένιωσα πως άκουσα το σπαραχτικό θέμα του βιολιού απ' τη σονάτα του Κρόιτσερ του Λουδοβίκου Μπετόβεν...

Έχουμε τελειώσει οριστικά με τον Νεύτωνα;

Στο εισαγωγικό μάθημα της κλασικής Μηχανικής, οι πρωτοετείς μου καταφέρνουν συχνά να με εντυπωσιάζουν. Έχοντας πρόσφατη την εμπειρία των Πανελλήνιων εξετάσεων και ζωντανές ακόμα στο μυαλό τους τις γνώσεις που αποκόμισαν από το φροντιστήριο, μπορούν να λύσουν τις πιο στρυφνές και απαιτητικές ασκήσεις με τόση ευκολία που, ομολογώ, κι εμένα με τρομάζει!

Από την άλλη, εισπράττω ενδιαφέρουσες απαντήσεις σε ερωτήματα εννοιολογικής φύσης. Για παράδειγμα, όταν ζητώ την διατύπωση του Νόμου της Αδράνειας με βάση τα όσα γνωρίζουν από το σχολείο, μερικοί μου απαντούν αόριστα ότι αφορά την αντίσταση των υλικών σωμάτων σε κάθε προσπάθεια μεταβολής της κινητικής τους κατάστασης. Όταν αντιλέγω ότι αυτό ορίζει τι είναι αδράνεια – ως γενική έννοια – αλλά δεν διατυπώνει τον νόμο που την αφορά, γίνονται πιο συγκεκριμένοι: «Κάθε σώμα έχει την τάση να διατηρεί την κινητική του κατάσταση αν πάνω του δεν ασκείται ολική δύναμη διάφορη του μηδενός.»

Ωραία, θα πείτε, μην τα βασανίζεις άλλο τα παιδιά, καλά σου τα είπαν τώρα! Όμως ο υποχόνδριος και ξενέρωτος δάσκαλος επιμένει: Κινητική κατάσταση ως προς τι; Και, σε σχέση με ποιους παρατηρητές; Όλους, γενικά, ή κάποιους με πολύ συγκεκριμένες ιδιότητες;

Είναι τότε η ώρα να μιλήσουμε για τον λεγόμενο αδρανειακό παρατηρητή. Κάποιον, δηλαδή, ως προς τον οποίο ένα ελεύθερο σωμάτιο (ένα σωμάτιο που δεν του ασκούνται δυνάμεις) είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα (ευθύγραμμα και ομαλά) είτε δεν κινείται καθόλου. Αυτός και μόνο αυτός έχει το δικαίωμα να χρησιμοποιεί στο δικό του σύστημα συντεταγμένων (αδρανειακό σύστημα αναφοράς) τους νόμους του Νεύτωνα (Isaac Newton, 1643–1727) και, ειδικά, τον Πρώτο Νόμο, αυτόν της Αδράνειας.

Βέβαια, δεν μπορεί κάποιος να απαιτήσει από παιδιά που μόλις τέλειωσαν το Λύκειο να έχουν απόλυτα ξεκαθαρίσει μέσα τους λεπτές έννοιες της Μηχανικής που έχουν φέρει σε δύσκολη θέση γενιές Φυσικών! Έννοιες που συνεχίζουν να προβληματίζουν τον σκεπτόμενο φοιτητή των θετικών επιστημών στα πιο μεγάλα πανεπιστήμια του κόσμου...

Γράμμα από έναν Αμερικανό φοιτητή

Πριν κάπου τρία χρόνια έλαβα ένα email από έναν ιδιαίτερα ευφυή και φιλομαθή φοιτητή θετικών επιστημών σε Πανεπιστήμιο του Τέξας. Έχοντας διαβάσει κάποιο δημοσιευμένο παιδαγωγικό άρθρο μου πάνω στη Νευτώνεια Μηχανική [1,2] απευθύνθηκε σε εμένα με ένα σχεδόν εναγώνιο ερώτημα: Είναι οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα αληθινά ανεξάρτητοι μεταξύ τους, ή μήπως ο πρώτος νόμος δεν είναι παρά ειδική περίπτωση του δεύτερου;

Σε κάποιους Φυσικούς, ιδιαίτερα αυτούς που διδάσκουν κλασική Μηχανική, το ερώτημα ίσως φαίνεται στοιχειώδες. Σπεύδω, εν τούτοις, να σημειώσω ότι το ζήτημα της ανεξαρτησίας των Νευτώνειων νόμων έχει προκαλέσει μεγάλη σύγχυση από την εποχή ακόμα του Νεύτωνα. Μάλιστα, έτυχε πρόσφατα να διαβάσω εκπαιδευτικό άρθρο σε κάποιο πανεπιστημιακό site του εξωτερικού, το οποίο άρθρο μεταξύ άλλων ανέφερε ότι ο νόμος της αδράνειας (ο πρώτος νόμος) είναι άμεση συνεπαγωγή του δεύτερου νόμου. Ο καλός φοιτητής, λοιπόν, απλά έπεσε θύμα της παραπάνω σύγχυσης που, ως φαίνεται, καλά κρατεί!

Του απάντησα αμέσως εξηγώντας του ότι, χωρίς τον πρώτο νόμο, ο δεύτερος θα έχανε τη σημασία του. Ή μάλλον, θα ήταν εντελώς λανθασμένος στη διατύπωσή του, αφού θα έδινε την εντύπωση μιας γενικής αρχής που ισχύει ανεξάρτητα από την κινητική κατάσταση του παρατηρητή, πράγμα που ασφαλώς δεν ισχύει. Με άλλα λόγια, ο νόμος της αδράνειας ορίζει το «τερέν» μέσα στο οποίο διατυπώνεται και ισχύει ο δεύτερος νόμος. Όπως έγραψα στον φοιτητή, το να εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο χωρίς να λαμβάνουμε υπόψη τον πρώτο είναι σαν να επιχειρούμε να παίξουμε ποδόσφαιρο χωρίς να διαθέτουμε γήπεδο ποδοσφαίρου!

Ο νόμος της αδράνειας, λοιπόν, δεν είναι απόρροια αλλά, κατά κάποιον τρόπο, προϋπόθεση ισχύος του δεύτερου νόμου. Τα ερωτήματα όμως δεν σταματούν εδώ: Ακόμα κι αν δεχθούμε την ανεξαρτησία των νόμων του Νεύτωνα μεταξύ τους, είναι το σύστημα των τριών αυτών νόμων επαρκές ως βάση για την ανάπτυξη της κλασικής θεωρίας;

Πριν προχωρήσουμε, ας δούμε τους νόμους συνοπτικά...

Οι Νόμοι του Νεύτωνα, όπως τους ξέρουμε

Ο Πρώτος Νόμος (νόμος της αδράνειας) εγγυάται την ύπαρξη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς. Ως τέτοιο σύστημα εννοούμε ένα σύστημα συντεταγμένων ως προς το οποίο ένα ελεύθερο σωμάτιο (σωμάτιο που δεν του ασκούνται δυνάμεις) κινείται με σταθερή ταχύτητα (ή, ισοδύναμα, χωρίς επιτάχυνση).

Ο Δεύτερος Νόμος ορίζει ότι, ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η επιτάχυνση ενός σωματιδίου είναι ανάλογη της ολικής δύναμης που ασκείται πάνω του.

Σύμφωνα με τον Τρίτο Νόμο ή νόμο δράσης-αντίδρασης, όταν δύο σωματίδια αλληλεπιδρούν, οι δυνάμεις που ασκεί το ένα στο άλλο είναι ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης.

Όμως, ποια είναι η «ολική δύναμη» πάνω σε ένα σωμάτιο, στην οποία αναφέρεται ο δεύτερος νόμος; Αυτό δεν μας το λένε οι νόμοι του Νεύτωνα! Την απάντηση έδωσε ο Ελβετός φυσικομαθηματικός Ντάνιελ Μπερνούλι (Daniel Bernoulli, 1700–1782) μετά τον θάνατο του Νεύτωνα, διατυπώνοντας την αρχή της επαλληλίας. Σύμφωνα με αυτήν, αν ένα σώμα υπόκειται σε διάφορες αλληλεπιδράσεις, η ολική δύναμη πάνω του είναι το (διανυσματικό) άθροισμα των δυνάμεων από κάθε αλληλεπίδραση χωριστά.

Μια εναλλακτική αξιωματική θεώρηση

Με βάση όσα είπαμε παραπάνω, η κλασική Νευτώνεια Μηχανική βασίζεται σε τέσσερις θεμελιώδεις αρχές: τους τρεις νόμος του Νεύτωνα και την αρχή της επαλληλίας. Σχετικά πρόσφατα, όμως [1,2] τέθηκε και πάλι ένα αναθεωρητικό ερώτημα: Μήπως, τελικά, τέσσερις νόμοι είναι «πάρα πολλοί»; Αυτό οδήγησε στο, ας το πούμε, ανακάτεμα και ξαναμοίρασμα της τράπουλας, με ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα: Με κατάλληλη διατύπωση, οι νόμοι της Μηχανικής μπορούν να συμπυκνωθούν στη μορφή δύο μόνο ανεξάρτητων αξιωμάτων. Προσοχή: Δεν πετούμε τους δύο από τους τέσσερις αρχικούς νόμους και κρατούμε τους άλλους δύο, αλλά αναδιατυπώνουμε την αξιωματική βάση της Μηχανικής με τρόπο ώστε οι ανεξάρτητες αρχές να είναι δύο αντί τέσσερις. Φυσικά, από τα δύο θεμελιώδη αξιώματα προκύπτουν, μεταξύ άλλων, ως ειδικά συμπεράσματα οι γνωστοί νόμοι της Νευτώνειας Μηχανικής.

Το πρώτο αξίωμα (θα το ονομάσουμε Α1), το οποίο στη Νευτώνεια Μηχανική προκύπτει από τους βασικούς νόμους ως παράγωγο θεώρημα, λαμβάνεται εδώ ως θεμελιώδης αρχή. Εκφράζει την αρχή διατήρησης της ορμής για ένα απομονωμένο σύστημα σωματιδίων και, έμμεσα, αξιώνει την ύπαρξη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς. Στην ειδική περίπτωση απομονωμένου «συστήματος» που περιέχει ένα μόνο σωματίδιο, το αξίωμα Α1 ανάγεται στον νόμο της αδράνειας (πρώτο νόμο του Νεύτωνα).

Το δεύτερο αξίωμα (Α2) το γνωρίσαμε ήδη: είναι η αρχή της επαλληλίας, διατυπωμένη όμως λίγο διαφορετικά: Η μεταβολή της ορμής που προκαλεί σε ένα σωματίδιο ένα σύνολο αλληλεπιδράσεων, είναι ίση με το (διανυσματικό) άθροισμα των μεταβολών που θα προκαλούσε κάθε αλληλεπίδραση χωριστά.

Αν προσέξατε, μέχρι στιγμής πουθενά δεν εμφανίζεται η έννοια της δύναμης, η οποία αποτελεί την πεμπτουσία του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα! Αυτό συμβαίνει διότι η δύναμη ορίζεται εδώ απλά ως ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Με τον ορισμό αυτό, το αξίωμα Α2 οδηγεί στην κλασική διατύπωση της αρχής της επαλληλίας που, όπως είπαμε νωρίτερα, οφείλεται στον Μπερνούλι.

Χρησιμοποιώντας τώρα τα αξιώματα Α1 και Α2, καθώς και τον ορισμό της δύναμης, μπορούμε να αποδείξουμε ως θεώρημα κάτι που στη Νευτώνεια Μηχανική αποτελεί αξίωμα: τον νόμο δράσης-αντίδρασης (τρίτο νόμο του Νεύτωνα). Άλλα σημαντικά θεωρήματα που μπορεί να αποδειχθούν είναι η αρχή διατήρησης της στροφορμής, το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας, η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας, κλπ.

Προβλήματα που παραμένουν...

Η οικονομικότερη αναδιατύπωση της αξιωματικής βάσης της Νευτώνειας Μηχανικής δεν απαλλάσσει, βέβαια, την κλασική θεωρία από τα εγγενή προβλήματά της. Πρώτα και κύρια, η θεωρία αυτή παύει να ισχύει σε έναν κόσμο πολύ υψηλών ταχυτήτων ή πολύ μικροσκοπικών διαστάσεων, δίνοντας τη θέση της στη Θεωρία της Σχετικότητας και την Κβαντική Θεωρία, αντίστοιχα. Υπάρχουν όμως προβλήματα ακόμα και στις συμβατικές περιοχές εφαρμογής της κλασικής θεωρίας. Ας δούμε τα κατά τη γνώμη μου πιο σημαντικά:

1. Το πρόβλημα των «αδρανειακών» συστημάτων αναφοράς

Απόλυτα αδρανειακά συστήματα αναφοράς δεν είναι δυνατό να υπάρχουν. Πράγματι, για να διαπιστώσουμε αν ένα σύστημα αναφοράς είναι αδρανειακό θα πρέπει να εξετάσουμε αν, ως προς αυτό, ένα οποιοδήποτε ελεύθερο σωμάτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα (δηλαδή, χωρίς επιτάχυνση). Όμως, η έννοια του ελεύθερου σωματίου είναι καθαρά θεωρητική και κανένα σωμάτιο στον κόσμο δεν μπορεί στην πραγματικότητα να θεωρείται ελεύθερο, για τους εξής λόγους: (α) Κάθε υλικό σωμάτιο υπόκειται στη δύναμη της βαρύτητας που του ασκεί ο υπόλοιπος υλικός κόσμος, όσο μακριά κι αν βρίσκεται το σωμάτιο από αυτόν. (β) Για να διαπιστώσουμε αν ένα σωμάτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα, θα πρέπει κάπως να αλληλεπιδράσουμε μαζί του (π.χ., να το φωτίσουμε ρίχνοντας πάνω του έναν ικανό αριθμό φωτονίων). Έτσι, στη διάρκεια της αλληλεπίδρασης το σωμάτιο δεν μπορεί πλέον να θεωρείται ελεύθερο.

2. Το πρόβλημα του ταυτόχρονου

Στον τρίτο νόμο του Νεύτωνα (ο οποίος, όπως προαναφέραμε, προκύπτει ως θεώρημα στη δική μας προσέγγιση) η αντίδραση θεωρείται ότι λαμβάνει χώρα ταυτόχρονα με τη δράση. Αυτό σημαίνει ότι δύο σωματίδια αλληλεπιδρούν στιγμιαία μεταξύ τους, όσο μακριά κι αν βρίσκεται το ένα από το άλλο, πράγμα που προϋποθέτει άπειρη ταχύτητα διάδοσης της αλληλεπίδρασης. Όπως γνωρίζουμε, όμως, καμία αλληλεπίδραση δεν διαδίδεται ταχύτερα από το ίδιο το φως!

Ένα επιπρόσθετο ζήτημα που είναι αναγκαίο να διευκρινίσουμε είναι το εξής: Σύμφωνα με την προσέγγισή μας, ένας «παρατηρητής» είναι, κατά κάποιον τρόπο, ένα ευφυές ελεύθερο σωμάτιο που έχει την ικανότητα να πραγματοποιεί μετρήσεις φυσικών μεγεθών όπως η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Ο παρατηρητής αυτός μπορεί να χρησιμοποιήσει για τις μετρήσεις του οποιοδήποτε βολικό (κατά προτίμηση ορθογώνιο) σύστημα αξόνων (x,y,z). Κατά συνθήκη, ο παρατηρητής βρίσκεται σταθερά τοποθετημένος στην αρχή Ο των συντεταγμένων αυτού του συστήματος αναφοράς, μπορεί όμως να προσανατολίσει τους άξονες του συστήματός του κατά βούληση. Τώρα, όπως προκύπτει ως πόρισμα από το αξίωμα Α1, δύο αδρανειακοί παρατηρητές δεν επιταχύνονται ο ένας ως προς τον άλλο. Έτσι, η σχετική ταχύτητα ανάμεσα στις αρχές Ο και Ο΄ των αξόνων τους είναι χρονικά σταθερή (σαν ειδική περίπτωση, τα σημεία Ο και Ο΄ μπορεί ακόμα και να ταυτίζονται). Όμως, τι γίνεται αν οι άξονες του ενός συστήματος περιστρέφονται ως προς τους άξονες του άλλου; Πώς θα γνωρίζουμε αν πράγματι κάποιος από τους δύο παρατηρητές είναι αδρανειακός; Η απάντηση είναι ότι, ως προς το σύστημα αξόνων ενός αδρανειακού συστήματος αναφοράς, ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν επιταχύνεται. Ειδικά, ως προς ένα περιστρεφόμενο σύστημα αξόνων, ένα ελεύθερο σωμάτιο θα εμφανίζεται να έχει τουλάχιστον κεντρομόλο επιτάχυνση (η επιτάχυνση αυτή σχετίζεται με την αλλαγή διεύθυνσης στην κίνηση του σωματίου). Ένα τέτοιο σύστημα αναφοράς, επομένως, δεν μπορεί να είναι αδρανειακό.

Σημειώνουμε, τέλος, ότι ένα στερεό σώμα, όπως και ένα συνεχές μέσο (π.χ., ένα ρευστό), μπορούν να αντιμετωπιστούν σαν υλικά συστήματα αποτελούμενα από ένα τεράστιο πλήθος στοιχειωδών σωματιδίων. Έτσι, δεν απαιτούνται επιπρόσθετα αξιώματα για τη μελέτη τέτοιων σύνθετων συστημάτων.

Επίλογος

Αποτελούν τα όσα αναφέραμε την τελευταία λέξη πάνω στη Νευτώνεια Μηχανική; Και βέβαια όχι! Η φοβερή αυτή θεωρία παραμένει «ζωντανή» και επιδεκτική σε πιθανές νέες αναθεωρήσεις σε ό,τι αφορά την αξιωματική της θεμελίωση. Και, έστω κι αν η Σχετικότητα και η Κβαντομηχανική περιόρισαν το πεδίο εφαρμογής της, ας μην ξεχνούμε ότι η κλασική Μηχανική εξακολουθεί να κυβερνά την ίδια μας την καθημερινότητα. Εκεί που το πολύ γρήγορο και το πολύ μικρό αφορούν, στην καλύτερη περίπτωση, τα αυτοκίνητά μας και τα... ολοένα συρρικνούμενα εισοδήματά μας, αντίστοιχα. Ο Νεύτωνας στ’ αλήθεια ήρθε εδώ για να μείνει!

Αναφορές

C. J. Papachristou, Foundations of Newtonian Dynamics: An axiomatic approach for the thinking student

[1] Πρωτότυπη δημοσίευση:

Nausivios Chora, Vol. 4 (2012) 153-160

http://nausivios.snd.edu.gr/docs/partC2012.pdf

[2] Σε αναθεωρημένη και εμπλουτισμένη μορφή:

https://arxiv.org/abs/1205.2326

Aixmi.gr

ΤΟ ΒΗΜΑ - Η ΔΕΗ, τα ΕΛΤΑ, και ο καταναλωτής που πληρώνει την ανάρμοστη σχέση τους

Για το πόσο αξιόπιστα είναι σήμερα τα Ελληνικά Ταχυδρομεία (ΕΛΤΑ) σε ό,τι αφορά την διανομή της αλληλογραφίας, έχουμε γράψει σε προηγούμενο σημείωμα (*). Την τραυματική εμπειρία της «αξιοπιστίας» των ΕΛΤΑ, όμως, βίωσαν πρόσφατα και οι καταναλωτές της ΔΕΗ που επέλεξαν να εξοφλήσουν τους λογαριασμούς τους μέσω Ταχυδρομείου. Ως γνωστόν, για λόγους που ο καθένας μπορεί να υποθέσει, τα ΕΛΤΑ παρακρατούσαν τις εισπράξεις με αποτέλεσμα να βρεθούν οι καταναλωτές αντιμέτωποι με πλασματικές ληξιπρόθεσμες οφειλές στη ΔΕΗ και να απολέσουν την «έκπτωση συνεπείας» του 15%.

Την δυσλειτουργία του συστήματος κλήθηκαν να πληρώσουν οι ίδιοι οι καταναλωτές, με απίστευτη ταλαιπωρία σε ατέλειωτες ουρές στα καταστήματα της ΔΕΗ όπου στήθηκαν για να αποδείξουν ότι «δεν είναι ελέφαντες», κατά την λαϊκή ρήση. Για πολλούς ηλικιωμένους, το βάρος της ταλαιπωρίας εκ των πραγμάτων έπεσε σε συγγενικά ή άλλα πρόσωπα. Σε κάποιους, η έλλειψη προνοητικότητας και κοινωνικής ευαισθησίας εκ μέρους της ΔΕΗ μετέτρεψε ένα πρακτικό πρόβλημα σε εφιάλτη! Το παρακάτω περιστατικό συνέβη σε αναγνώστρια, η οποία μου το μετέφερε.

Η κυρία Ι.Χ. είναι υπέργηρη και καθηλωμένη στο κρεβάτι λόγω σοβαρών κινητικών προβλημάτων. Την Παρασκευή, αργά το μεσημέρι και ενώ λίγες ώρες νωρίτερα ο αρμόδιος υπουργός έδινε εξηγήσεις και υποσχέσεις στη Βουλή για την διόρθωση του προβλήματος που είχε προκύψει ανάμεσα σε ΔΕΗ και ΕΛΤΑ, δέχθηκε τηλεφώνημα από περιφερειακό κατάστημα της ΔΕΗ όπου με αυστηρό τόνο την «ενημέρωσαν» ότι ο τελευταίος λογαριασμός της ήταν απλήρωτος. Η κυρία Χ. διαμαρτυρήθηκε λέγοντας ότι ποτέ δεν αφήνουν απλήρωτους λογαριασμούς στο σπίτι της, πράγμα που ελάχιστα έδειξε να συγκινεί την υπάλληλο της ΔΕΗ καθώς συμβουλευόταν το υπηρεσιακό κομπιούτερ της: «Κυρία μου, εδώ βλέπω ότι ο λογαριασμός σας δεν έχει εξοφληθεί!»

Λεπτομέρεια: Αν και βέβαιο είναι ότι γνώριζε το πρόβλημα που υφίσταται με τα ΕΛΤΑ, η υπάλληλος απέφυγε να κάνει την αυτονόητη ερώτηση αν ο λογαριασμός είχε ήδη εξοφληθεί εκεί, και αν ναι, να σπεύσει να καθησυχάσει την ηλικιωμένη γυναίκα. Πράγματι, τον λογαριασμό είχε προ πολλού εξοφλήσει εμπρόθεσμα στο Ταχυδρομείο της περιοχής η κόρη της κυρίας Χ. Η οποία κόρη, επιστρέφοντας στο σπίτι βρήκε την μητέρα της σε κατάσταση σοκ, ενώ μάταια προσπάθησε να επικοινωνήσει με τον τηλεφωνικό αριθμό από τον οποίο είχε γίνει η κλήση (ο αριθμός όντως ανήκει σε κατάστημα της ΔΕΗ) αφού κανείς δεν υπήρχε, ή απλά δεν ήθελε, να σηκώσει το τηλέφωνο.

Για τις δύο γυναίκες ξεκίνησε έτσι ένα ψυχολογικά βασανιστικό τριήμερο, αφού θα έπρεπε να περιμένουν ως τη Δευτέρα το πρωί για να επικοινωνήσουν με τη ΔΕΗ και να βρουν την άκρη σε ένα αδιανόητο πρόβλημα που τους είχε προκύψει από το «πουθενά». Ίσως κάποιος άλλος στη θέση της κόρης να είχε μπει στον πειρασμό να προβεί ακόμα και σε μηνύσεις για το τηλεφωνικό «μπούλινγκ» που είχε εισπράξει η μητέρα της!

Η συνέχεια της ιστορίας: Δευτέρα πρωί, η κόρη της κυρίας Χ. πήγε στην τοπική ΔΕΗ με το δελτίο πληρωμής από τα ΕΛΤΑ ανά χείρας. Θεωρούσε αυτονόητο ότι, με την επίδειξη του πολύτιμου τεκμηρίου εξόφλησης, η ΔΕΗ αυτομάτως θα διέγραφε το πλασματικό χρέος από τα κομπιούτερ της. Διαπίστωσε προς απογοήτευσή της, όμως, ότι το αυταπόδεικτο δεν συμβαδίζει πάντα με το αυτονόητο σ’ αυτό τον τόπο. Με απλά ελληνικά, και με βάση τις ενδείξεις που υφίστανται τούτη τη στιγμή (αφού το τοπίο είναι εξόχως θολό και κάθε διαπίστωση υπόκειται σε ενδεχόμενη αναθεώρηση), ο ίδιος ο καταναλωτής θα συνεχίσει να χρωστά στη ΔΕΗ όσο συνεχίσουν να της χρωστούν τα ΕΛΤΑ! (Σε κομψή διατύπωση, μέχρι η ΔΕΗ να λάβει τα ηλεκτρονικά αρχεία με τις λίστες από τα ΕΛΤΑ...)

Σε κάθε περίπτωση, και έχοντας ξεκάθαρα αποδώσει το μεγαλύτερο μέρος της ευθύνης για την ταλαιπωρία χιλιάδων καταναλωτών της ΔΕΗ στην (ύποπτη) συμπεριφορά των ΕΛΤΑ, δεν μπορούμε να μην σημειώσουμε και την έλλειψη ευαισθησίας εκ μέρους της ίδιας της ΔΕΗ απέναντι στο πρόβλημα που αντιμετώπισαν, όχι με δική τους υπαιτιότητα, οι πελάτες της. Τους οποίους έσπευσε να χαρακτηρίσει «ενόχους μέχρις αποδείξεως του εναντίου», χρεώνοντάς τους με πλασματικές ληξιπρόθεσμες οφειλές και – σαν να μην έφτανε αυτό – παρενοχλώντας τους τηλεφωνικά και αντιμετωπίζοντάς τους, γενικά, σαν κοινούς «μπαταχτσήδες»!

Οι παλιότεροι αναγνώστες θα θυμούνται ίσως το κλασικό διαφημιστικό σλόγκαν, «Είδες η ΔΕΗ;». Θέλουμε να πιστεύουμε ότι πρόθεση της εταιρείας είναι να συνεχίσει να επαληθεύει την αυθεντική του, θετική σημασία. Όσο για τα ΕΛΤΑ, ίσως ήρθε η ώρα να εξεταστεί το ζήτημα της εν γένει λειτουργίας τους σε όλη του την έκταση. Και, αν χρειάζεται, να ληφθούν αποφάσεις. Όχι απαραίτητα καθολικά αρεστές...

(*) ΤΟ ΒΗΜΑ, 25-8-2017, http://www.tovima.gr/opinions/article/?aid=896930

ΤΟ ΒΗΜΑ

Για έναν δάσκαλο που, ίσως, δεν υπήρξε ποτέ...

Πάνε είκοσι χρόνια, τώρα, που έφυγε από τη ζωή ένας δάσκαλος. Δεν είχα ακούσει ποτέ το όνομά του (ήταν σε επιστημονικό πεδίο εντελώς διαφορετικό από το δικό μου) ως τη μέρα, πρόσφατα, που βρέθηκα τυχαία σε μία διάλεξη με θέμα την εκπαίδευση. Κι εκεί μίλησε γι’ αυτόν ένας πρώην φοιτητής του στο Πανεπιστήμιο. Με μεγάλο θαυμασμό και απέραντη αγάπη για τον δάσκαλο, όμως δίχως την παραμικρή ένδειξη θεοποίησης και ειδωλολατρίας. Γιατί, όπως τόνισε ο ομιλητής, ο δάσκαλος είναι πάνω απ’ όλα άνθρωπος. Με γήινες ατέλειες κι αδυναμίες...

Παραθέτω από μνήμης, με άτακτη σειρά, τα πιο σημαντικά πράγματα που άκουσα για τον άγνωστο σε εμένα δάσκαλο:

Όταν δίδασκε δεν έκανε ποτέ μονόλογο από την κορυφή του Ολύμπου. Έκανε διάλογο με τους μαθητές του και τους ενθάρρυνε να τον διακόπτουν, όχι μόνο για να τον ρωτούν αλλά και για να τον διορθώνουν. Τους ζητούσε να τον αμφισβητούν διαρκώς, όπως και να αποδέχονται πάντα την αμφισβήτηση στο πρόσωπό του απ’ όπου κι αν αυτή προέρχεται. «Όποιος μας αμφισβητεί δεν είναι εχθρός μας», έλεγε, «αλλά μια καλή ευκαιρία να επανεξετάσουμε τις βεβαιότητές μας για το αλάνθαστο του εαυτού μας»!

Το ακροατήριό του στο αμφιθέατρο δεν χρησίμευε σαν καθρέφτης για να αυτοθαυμάζεται, δεν ήταν μέσο για να τροφοδοτεί τον – ούτως ή άλλως ανύπαρκτο – ναρκισσισμό του. Ήταν όμως καθρέφτης για να αυτοκρίνεται, να αναγνωρίζει τις ατέλειές του και να βελτιώνεται σαν δάσκαλος και σαν άνθρωπος. Επιζητούσε και απολάμβανε την εκτίμηση και την αγάπη των μαθητών του, δεν τους επέτρεψε όμως ποτέ να γίνουν οπαδοί του διολισθαίνοντας στην προσωπολατρία. Και, για να αποτρέψει τούτο το ενδεχόμενο, δεν έκανε τον εαυτό του να φαντάζει στα μάτια τους σαν ιδανικό και αξεπέραστο πρότυπο, αφού συνειδητά δεν έκρυβε από αυτούς τις ανθρώπινες αδυναμίες του.

Ήταν βαθιά και ουσιαστικά ταπεινόφρων, δεν δίδασκε απλά τη σημασία της ταπεινοφροσύνης χωρίς να τη βιώνει μέσα του. Ο στόμφος και η οίηση απουσίαζαν ολότελα από τον λόγο του. Αν και ευρυμαθής, δεν επιδιδόταν σε επίδειξη των γνώσεών του με σκοπό να εντυπωσιάσει το ακροατήριό του. Συχνά μάλιστα καμωνόταν πως δεν γνώριζε κάτι και οδηγούσε με τρόπο τους μαθητές του να το ανακαλύψουν μόνοι τους, λέγοντάς τους στο τέλος πως αποτελούσε γνώση που ήδη κατείχαν μέσα τους μα δεν γνώριζαν εξαρχής πως την κατείχαν! Πίστευε και δίδασκε πως στον πυρήνα της μάθησης βρίσκεται η αυτογνωσία. Το «γνώθι σαυτόν» ήταν το σταθερό παιδαγωγικό του αξίωμα.

Πίστευε επίσης πως το καλό μνημονικό μικρή αξία έχει μπροστά στην ορθή κρίση και τη διάθεση για αναζήτηση. Ο επιστήμων και δάσκαλος, έλεγε, δεν είναι μία απέραντη αποθήκη ονομάτων, χρονολογιών και δεδομένων αλλά ένας νους που μεθοδικά αναζητά την αλήθεια, την αξιολογεί, την οργανώνει, την καταγράφει, και στο τέλος τη μεταλαμπαδεύει στους μαθητές του με τρόπο τόσο απλό και κατανοητό που η αλήθεια αυτή να μοιάζει αυτονόητη.

Δίδαξε στους μαθητές του την αξία της ζωής και τους εμφύσησε την αγάπη γι’ αυτήν. Έλεγε πως ακόμα και ένας δοξασμένος θάνατος μικρή σημασία έχει αν πίσω του δεν αφήσει μία προσωπική πορεία βιωμένη στην πληρότητά της ως την τελευταία στιγμή. «Ζούμε για να ανακαλύπτουμε συνεχώς πόσο ψηλότερα μπορεί να φτάσει η συνειδητότητά μας», έλεγε, «όχι για να προετοιμάσουμε επιμελώς το τέλος μας τη στιγμή που δεν θα αντέχουμε άλλο το βάρος της ύπαρξής μας»!

«Έφυγε» ταπεινά κι αθόρυβα, έτσι όπως έζησε. Όχι ως ισχυρός, αλλά με βαθιά επίγνωση του πεπερασμένου της ύπαρξής του. Ούτε όμως κι έρημος, αφού δεν ανέβηκε ποτέ σε μοναχικές βουνοκορφές για να βλέπει τους άλλους από ψηλά, σαν να ήταν επίγειος θεός. Ο θάνατός του δεν αποτέλεσε πρώτο θέμα στα media, δεν έγινε ιστορία μυστηρίου κι ούτε θρύλος που στοίχειωσε τη λαϊκή φαντασία. Άφησε πίσω του κληρονόμους και συνεχιστές της σκέψης του, όχι στενόμυαλους, σκληροπυρηνικούς και μισαλλόδοξους οπαδούς. Και άφησε τις φοιτήτριές του με τη γλυκιά ανάμνηση ενός σεμνού δασκάλου, όχι με αίσθημα οιονεί χηρείας για την απώλεια κάποιου αυτάρεσκου εν δυνάμει εραστή...

Το τέλος της διάλεξης με βρήκε να αμφιβάλλω κατά πόσον αυτές οι ιδιότητες θα μπορούσαν πράγματι να αντιστοιχούν σε υπαρκτό πρόσωπο στον ακαδημαϊκό χώρο. Άραγε, μήπως ο δάσκαλος αυτός δεν ήταν παρά δημιούργημα της φαντασίας του ομιλητή, κάποιος που θα ‘θελε να είχε συναντήσει στα πανεπιστημιακά αμφιθέατρα μα δεν το αξιώθηκε ποτέ; Ή μήπως είχε υπάρξει, όχι όμως στον κόσμο τούτο αλλά σε ένα Σύμπαν αντιύλης όπου τα αρνητικά γίνονται θετικά και τα δεξιόστροφα αριστερόστροφα;

Μη θέλοντας, εν τούτοις, να καταστρέψω τη μαγεία που είχα βιώσει, αποφάσισα να μην καταφύγω σε μηχανές αναζήτησης στο Διαδίκτυο ενώ απέφυγα και να κάνω διερευνητικές ερωτήσεις στον βιβλιοπώλη μου. Εξ άλλου, τι κι αν ο δάσκαλος αυτός δεν είχε, τελικά, υπάρξει; Και τι θα απέκλειε το ενδεχόμενο να εμφανιστεί άξαφνα μια μέρα ένας σαν αυτόν σε κάποια αίθουσα διδασκαλίας, τη στιγμή ακριβώς που κανείς πια δεν θα ανέμενε τον ερχομό του;

Βέβαια, έχουν περάσει αιώνες από τότε που ο τελευταίος δάσκαλος του είδους έφυγε από τη Γη, δηλώνοντας ως το τέλος ότι το μόνο που γνώριζε ήταν πως δεν γνώριζε τίποτα! Κάποιοι προσπάθησαν αργότερα να μιμηθούν το δικό του τέλος, πίνοντας ενδεχομένως παρόμοιο ποτό. Με μία διαφορά μόνο: εκείνοι γνώριζαν τα πάντα...

Aixmi.gr